前言
极限是数学中一个非常核心的概念，它描述了当某个变量（比如 $x$）趋近一个特定值（比如 $a$）时，函数 $f(x)$ 的行为会怎么样，我们通常会说：“当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限是 $L$”，写成数学符号是：
$$
\lim_{x \to a}f(x)=L
$$
这到底是什么意思呢？简单来说，就是当 $x$ 离 $a$ 越来越近（但不一定要等于 $a$）时，$f(x)$ 的值会越来越靠近某个数 $L$。为了把这个想法讲得更严谨，数学家们用了一种叫 $ε-δ$ 定义 的方法。我下面就一步步拆解它，用尽量好理解的方式解释。
ε 和 δ 是什么？
- ε（读作“epsilon”）：这是一个很小的正数（比如 0.01、0.001 这样），代表 $f(x)$ 和 $L$ 之间的距离。我们希望 $f(x)$ 能离 $L$ 任意近，所以 ε 可以取任何小的正值。
- δ（读作“delta”）：这也是一个很小的正数，代表 $x$ 和 $a$ 之间的距离。我们需要找到一个合适的 δ，让 $x$ 只要离 $a$ 近到这个范围内，$f(x)$ 就一定离 $L$ 很近。
用数学语言来说：
对于任意给定的 $ε > 0$（不管多小），我们都能找到一个 $δ > 0$，使得当 $x$ 满足 $0<∣x−a∣<δ$ （即 $x$ 很靠近 $a$ 但不等于 $a$）时，$∣f(x)−L∣<ε$ （即 $f(x)$ 离 $L$ 的距离小于 $ε$）。
举例说明
用生活中的例子理解
想象你在玩一个游戏：目标是让你的箭尽量射中靶心（靶心是 $L$）。
- $ε$ 是你允许的误差范围，比如说“箭必须落在靶心 1 厘米以内”。
- $δ$ 是你调整射箭位置的范围，比如“只要你在离某个最佳位置 0.5 米内射箭，箭就能落在 1 厘米以内”。
极限的 $ε-δ$ 定义就是在说：不管你把误差范围（$ε$）定得多严格（比如 0.1 厘米、0.01 厘米），我都能找到一个对应的位置范围（$δ$），保证你在这个范围内射箭，箭一定落在你想要的误差范围内。
用具体的数学例子看看
我们用一个简单的函数 $f(x)=2x+1$ 来试试，目标是证明当 $x$ 趋近 1 时，极限是 3，也就是：
$$
\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3
$$
目标：我们想让 $f(x) = 2x + 1$ 离 3 很近。数学上，就是让 $|f(x) - 3| < ε$。
计算距离：
$$
∣f(x)−3∣=∣(2x+1)−3∣=∣2x−2∣=2∣x−1∣
$$
我们需要 $2∣x−1∣<ε$。找出关系：
要让 $2∣x−1∣<ε$ 成立，只要 $|x - 1| < \frac{ε}{2}$ 就行了。定 δ：
所以我们可以选 $δ = \frac{ε}{2}$。这意味着，只要 $x$ 离 1 的距离小于 $δ$（即 $0<∣x−1∣<δ$），那么 $|f(x) - 3| < ε$ 就一定成立。
结论：不管你给我多小的 $ε$（比如 0.1、0.001），我都能找到一个 $δ$（比如 0.05、0.0005），保证 $x$ 在这个范围内时，$f(x)$ 离 3 足够近。这就证明了极限是 3。
再试一个稍微复杂的例子
考虑函数 $f(x) = x^2$，证明：
$$
\lim_{x \to 2} x^2 = 4
$$
目标：让 $|f(x) - 4| = |x^2 - 4| < ε$ 。
计算距离：
$$
|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2|
$$这里有两个部分：$|x - 2|$ 和 $|x + 2|$ 。我们需要控制它们。
限制范围：
假设 $|x - 2| < 1$ （也就是说， $x$ 在 1 到 3 之间），那么：
$1 < x < 3$
$3 < x + 2 < 5$
所以 $|x + 2| < 5$
于是：
$$
|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < 5|x - 2|
$$
定 δ：
我们希望 $5|x - 2| < ε$，所以 $|x - 2| < \frac{ε}{5}$ 。
但我们还得满足 $|x - 2| < 1$，所以取 $δ = \min(1, \frac{ε}{5})$（取小的那个）。
结论：对于任意 $ε > 0$，选 $δ = \min(1, \frac{ε}{5})$，只要 $0 < |x - 2| < δ$，就能保证 $|x^2 - 4| < ε$。这证明了极限是 4。
后记
通过这两个例子，你会发现 $ε-δ$ 定义的本质其实是一个“挑战与应对”的游戏：
- 你给我一个 $ε$（挑战：让 $f(x)$ 离 $L$ 多近），
- 我找到一个 $δ$（应对：让 $x$ 离 $a$ 多近），
- 保证只要 $x$ 在 $δ$ 范围内，$f(x)$ 就在 $ε$ 范围内。
这就像是在说：“你随便定一个目标，我都能找到办法满足你。” 这就是极限的严谨定义，确保了 $f(x)$ 在 $x$ 靠近 $a$ 时稳定地趋向 $L$。